Nicc: A scuola non ero una cima in geometria. Una cosa che mi ricordo era però il prof. Mosmann che ripeteva ogni 2 per 3: “la somma degli angoli di un triangolo è sempre di 180 gradi!”. Chiacchierando con te, mi ha affascinato il modo in cui tu, in quanto matematico (ma sicuramente anche in quanto Emanuele “Delüch” Delucchi), hai la capacità di vedere le cose che non ci sono. Insomma, mi è quasi parso di capire che grazie alla matematica l’uomo sia riuscito nella storia a vedere più in là del suo naso. E allora mi chiedo, secondo la matematica la somma degli angoli di un triangolo può essere diversa da 180 gradi?

Ema: Allora, cercherò di glissare elegantemente su cosa possono essere le “cose che non ci sono”, e colgo al balzo la palla che mi hai lanciato parlando della somma degli angoli di un triangolo. In effetti c’è una storia curiosa legata proprio a questo tema che getta una luce su un modo tipico di procedere della matematica (si, la matematica “procede” e si evolve!).Dunque: un lontano antenato del tuo prof. Mosmann probabilmente insegnava matematica in un qualche principato germanico alla fine del ‘700, e aveva nella sua classe un bambino di nome Carl Friedrich Gauss. Visto che detto così sembra il nome di un dobermann particolarmente aggressivo, lo chiameremo d’ora innanzi come probabilmente lo chiamavano i suoi amichetti: Carletto. Ora, anche Carletto aveva imparato questa storia che mettendo uno accanto all’altro gli angoli interni di un triangolo si ottiene la metà di un giro completo (che per convenzione viene diviso in 360 parti uguali).

Poi, diversi anni dopo, lui lavorava per il principe, e il principe gli aveva chiesto di misurare le terre del suo principato. Lui pensò di fare come gli antichi egizi (che usavano la geo-metria appropriatamente come sistema per (ri)misurare e (ri)distribuire il terreno dopo ogni inondazione del Nilo) e suddividere il terreno in triangoli per poi sommare le aree risultanti.

Solo che gli egizi avevano il deserto accanto al Nilo, mentre lui aveva le colline della Germania – e si era accorto che collegando tre punti su una collina per la via più breve (=”tracciando i tre segmenti”) e misurando gli angoli, trovava una somma MAGGIORE di 180 gradi!!

Se ci pensate non è sbalorditivo: pensiamo un triangolo sulla terra, con un vertice al polo Nord e due vertici sull’equatore, diciamo a Giacarta e Belem. I due “lati” che si toccano al polo Nord seguono due meridiani, mentre il lato che congiunge le due città sull’equatore segue appunto l’equatore. Quindi i due angoli alle città sull’equatore sono ciascuno di 90 gradi, e già la loro somma da 180 gradi – figuriamoci ad aggiungere il terzo angolo (che sarà quel che sarà, ma sicuramente non nullo): il risultato sarà certamente maggiore di 180 gradi!

Questo ha aperto gli occhi a Gauss: in effetti la “vecchia” Geometria del greco Euclide, che veniva dritta dritta dagli egizi, andava bene sui terreni piatti come il deserto ma evidentemente non sui terreni curvati! E Gauss, il matematico, allora si chiede: ma cos’altro cambierà facendo geometria sui terreni curvati? ci sono cose che restano valide? diciamo: il famoso “teorema di Pitagora” vale ancora?Il principe era interessato a questa storia perché ha indubbie applicazioni pratiche: misurare il suo principato, navigare in alto mare, eccetera; il matematico invece si interessa a queste cose per il puro piacere della curiosità, del “vediamo cosa succede se”; e per trovare le regole fondamentali della nuova geometria, i cosiddetti ‘assiomi’ dai quali tutte le cose ‘geometricamente vere’ su una sfera possono essere dedotte.
Perché poi i “fatti” della matematica (i “teoremi”) devono essere dimostrati, in modo da non valere solo per la collinetta dove c’è il castello del principe ma per tutte le collinette del mondo – anzi: in tutte le collinette di ogni mondo che funziona come il nostro. Per fare questo bisogna astrarre le proprietà più banali (= “evidenti a tutti” – ma cos’è una cosa evidente?) della collinetta e riuscire a dimostrare rigorosamente i “fatti” basandosi solo su queste constatazioni universalmente accettate, il cui nome tecnico è “assiomi”.

Ma è interessante anche vedere cosa succedeva in Ungheria intanto che Gauss si strizzava il cervello per distillare gli assiomi della geometria della sfera.
Un tale Bolyai si era posto questa domanda: cosa succede se prendo le regole fondamentali della geometria di Euclide e ne cambio una? il gioco funziona ancora o si rompe? Domanda senza apparenti applicazioni pratiche, tipica del matematico che si dice “ma proviamo a fare così: cosa succederà?”

In particolare: all’inizio della sua opera più monumentale (gli “Elementi di geometria”), Euclide aveva detto: “facciamo che, ogni volta che abbiamo una retta davanti a noi, possiamo tracciare una retta parallela alla prima ad ogni distanza che vogliamo”.
E Bolyai: “facciamo che no”.

E salta fuori che il gioco di Bolyai è almeno altrettanto divertente di quello di Euclide. E che la tavola del gioco di Bolyai è la sfera su cui Gauss faceva geometria.

Adesso credo sia giunto il momento di fermarmi, perchè non so se continuare il filo della geometria curva (che ci porterebbe dritti dritti alla relatività di Einstein) o quello dell’idea di isolare le regole dal gioco stesso per vedere se ogni possibile mossa è veramente o permessa o proibita (e qui siamo a una delle rivoluzioni intellettuali più grandi: i teoremi di incompletezza di Gödel. Ci sono “mosse” aritmetiche che non sono “ne permesse ne proibite”). Come al solito, quando uno comincia a inanellare pensieri con la libertà concessa dalla matematica, non si sa mai dove si va a finire.

Per concludere, caro Nico: ci sono delle teorie geometriche dove la somma degli angoli di un triangolo è diversa dal mezzo giro, basta porsi le domande giuste, e avere il coraggio di rispondervi fino in fondo, a costo di cambiare le regole del gioco!

Carl Friedrich Gauss

http://mathworld.wolfram.com/SphericalTriangle.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_triangle
http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/
www.math.uncc.edu/~droyster/math3181/notes/…